Taisnstūris

Par taisnstūri sauc paralelogramu, kuram visi leņķi ir taisni.
‍
Taisnstūra pazīmes:

• Ja četrstūra 3 leņķi ir taisni, tad tas ir taisnstūris.
• Ja 1 no paralelograma leņķiem ir taisns, tad tas ir taisnstūris.
• Ja paralelograma diagonāles ir vienāda garuma, tad tas ir taisnstūris.

Taisnstūra īpašības:

• Taisnstūra pretējās malas ir pa pāriem vienāda garuma.
• Taisnstūrim visi leņķi ir vienādi ar 90 grādiem.
• Taisnstūra diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm.
• Taisnstūra diagonāle sadala to 2 vienādos trijstūros, pie tam taisnleņķa trijstūros.
• Šķērsleņķi pie diagonāles ir vienādi.
• Taisnstūra diagonāles ir vienāda garuma.

Taisnstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = 2 · (a + b)
• Laukums: S = a · b
• Diagonāle: d² = a² + b²

Riņķis

Par riņķi sauc riņķa līniju kopā ar plaknes daļu, kuru tā ierobežo.
‍
Riņķa īpašības:

• Viena riņķa visi rādiusi ir vienādi.
• Riņķa diametrs ir divreiz garāks nekā rādiuss.

Riņķī lietojamās formulas:

• Riņķa līnijas garums: C = 2 · ℼ · r = ℼ · d
• Laukums: S = ℼ · r ²
• Diametrs: d = 2 · r

Vienādmalu trijstūris

Par vienādmalu jeb regulāru trijstūri sauc trijstūri, kuram visas malas ir vienāda garuma.

Vienādmalu trijstūra pazīmes:

• Ja trijstūrī visi leņķi ir vienādi, tad tas ir vienādmalu trijstūris.
• Ja trijstūrī jebkura bisektrise, kas novilkta pret vienu no trijstūra malām, ir arī augstums un mediāna, tad tas ir vienādmalu trijstūris.

Vienādmalu trijstūra īpašības:

• Vienādmalu trijstūra visi leņķi ir vienādi un ir tieši 60 grādi.
• Vienādmalu trijstūrī visi augstumi ir arī mediānas un bisektrises.
• Vienādmalu trijstūrī augstumi, mediānas un bisektrises krustojas vienā punktā.

Vienādmalu trijstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + a + a
• Laukums: S = a² · √3 / 4
  S = a · h_a / 2

Vienādsānu trijstūris

Par vienādsānu trijstūri sauc trijstūri, kura 2 malas ir vienāda garuma.

Vienādsānu trijstūra pazīmes:

• Ja trijstūra 2 leņķi ir vienādi, tad tas ir vienādsānu trijstūris.
• Ja trijstūra bisektrise, kas novilkta pret 1 no trijstūra malām, ir arī augstums un mediāna, tad tas ir vienādsānu trijstūris.

Vienādsānu trijstūra īpašības:

• Vienādsānu trijstūra mediāna, kas novilkta pret pamatu, ir arī šī trijstūra augstums un bisektrise.
• Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamata ir vienādi.

Vienādsānu trijstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + a + b
• Laukums: S = a · h_a / 2
  S = 1/2 · a · b · sin γ
  
  γ - leņķis starp malu a un malu b

Dažādmalu trijstūris

Par dažādmalu trijsturi sauc trijsturi, kura visas malas ir dažāda garuma.

Trijstūru īpašības:

• Trijstūrī pret platāko leņķi atrodas garākā mala.
• Trijstūrī pret īsāko malu atrodas šaurākais leņķis.

Trijstūra eksistences likums:

• Trijstūrī jebkuras malas garums ir mazāks nekā pārējo 2 trijstūra malu garumu summa un lielāks nekā abu pārējo trijstūra malu garumu starpība.

Dažādmalu trijstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + b + c
• Laukums: S = a · h_a / 2
  S = 1/2 · a · b · sin γ
  
  γ - leņķis starp malu a un malu b

Taisnleņķa trijstūris

Par taisnleņķa trijstūri sauc trijstūri, kura viens leņķis ir taisns (90 grādu liels).

• Taisnā leņķa pretmalu (trijstūra garāko malu) sauc par hipotenūzu.
• Abas pārējās malas, kas veido taisno leņķi, sauc par katetēm.
• Par taisnleņķa trijstūra šaurā leņķa sinusu sauc pretkatetes attiecību pret hipotenūzu.

Taisnleņķa trijstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + b + c
• Laukums: S = a · b / 2
  S = a · h_a / 2
  
• Pitagora teorēma: a² + b² = c²
• Eiklīda teorēma: h_c² = a_c · b_c
  a² = c · a_c ; b² = c · b_ca²/b² = a_c/b_c
  h_c - augstums pret hipotenūzu
  a_c - katetes a projekcija uz hipotenūzas
  b_c - katetes b projekcija uz hipotenūzas
• Teorēma par kateti pret 30 grādu leņķi: Ja α = 30° , tad a = 1/2 · c
• sin α = a / c
  cos α = b / c
  tg α = a / b
  ctg α = b / a
• h_c = a · b / c
  
  a ; b - katetes
  c - hipotenūza
  α - katetes a pretleņķis vai katetes b pieleņķis

Platleņķa trijstūris

Par platleņķa trijstūri sauc trijstūri, kura 1 leņķis ir plats.
‍

• Platleņķa trijstūrī platais leņķis ir starp 90 un 180 grādiem.
• Platleņķa trijstūris var būt gan dažādmalu trijstūris, gan vienādsānu trijstūris.

Platleņķa trijstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + b + c
• Laukums: S = a · h_a / 2
  S = 1/2 · a · b · sin γ
  
  γ - leņķis starp malu a un malu b

Šaurleņķa trijstūris

Par šaurleņķa trijstūri sauc trijstūri, kura visi leņķi ir šauri.

• Šaurleņķa trijstūrī visi leņķi ir šauri (mazāki par 90 grādiem).
• Šaurleņķa trijstūris var būt dažādmalu trijstūris, vienādsānu trijstūris un vienādmalu trijstūris.

Šaurleņķa trijstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + b + c
• Laukums: S = a · h_a / 2
  S = 1/2 · a · b · sin γ
  
  γ - leņķis starp malu a un malu b
  

Dažādmalu trapece

Dažādmalu trapeces īpašības:

• Trapeces iekšējo leņķu summa ir 360 grādi.
• Trapeces sānu malas pieleņķu lielumu summa ir 180 grādi.
• Trapeces sānu malas pieleņķu summa ir 180 grādi.

Dažādmalu trapecē lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + b + c + d
• Laukums: S = a + b / 2 · h = m · h
• Viduslīnijas īpašība: m = a + b / 2
  
  m - viduslīnija
  h - trapeces augstums

Vienādsānu trapece

Trapeci, kuras sānu malas ir vienāda garuma, sauc par vienādsānu trapeci.

Vienādsānu trapeces pazīmes:

• Ja leņķi pie trapeces pamata ir vienāda lieluma, tad trapece ir vienādsānu.
• Ja trapeces diagonāles ir vienāda garuma, tad trapece ir vienādsānu.

Vienādsānu trapeces īpašības:

• Leņķi pie vienādsānu trapeces pamata ir vienāda lieluma.
• Vienādsānu trapeces diagonāles ir vienāda garuma.
• Trapeces sānu malas pieleņķu summa ir 180 grādi.

Vienādsānu trapecē lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + a + b + c
• Laukums: S = a + b / 2 · h = m · h
• Viduslīnijas īpašība: m = a + b / 2
  
  m - viduslīnija
  h - trapeces augstums

Taisnleņķa trapece

Trapeci, kuras sānu mala ir perpendikulāra pamatiem, sauc par taisnleņķa trapeci.

• Taisnleņķa trapeces īsākā sānu mala ir perpendikulāra trapeces pamatiem un reizē ir arī trapeces augstums.
• Trapeces sānu malas pieleņķu summa ir 180 grādi.

Taisnleņķa trapecē lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = a + b + c + d
• Laukums: S = a + b / 2 · h = m · h
• Viduslīnijas īpašība: m = a + b / 2
  
  m - viduslīnija
  h - trapeces augstums

Paralelograms

Četrstūris, kura pretējās malas ir pa pāriem paralēlas, sauc par paralelogramu.
‍
Paralelograma pazīmes:

• Četrstūris ir paralelograms, ja tā pretējās malas ir pa pāriem vienāda garuma.
• Četrstūris ir paralelograms, ja tā pretējie leņķi ir pa pāriem vienāda lieluma.
• Četrstūris ir paralelograms, ja tā diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm.
• Četrstūris ir paralelograms, ja tā divas malas ir vienāda garuma un paralēlas.

Paralelograma īpašības:

• Paralelograma pretējās malas ir vienāda garuma.
• Paralelograma pretējie leņķi ir vienāda lieluma.
• Paralelograma katras malas pieleņķu summa ir 180 grādi.
• Paralelograma diagonāles krustpunktā dalās uz pusēm.

Paralelogramā lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = 2 · (a + b)
• Laukums: S = a · h_a = b · h_b
  S = a · b · sin α S = d1 · d2 · sin φ / 2
• Sakarība starp paralelograma diagonālēm un malām:
  d₁² + d₂² = 2 · (a² + b²)
  
  h_a - paralelograma augstums pret malu a
  h_b - paralelograma augstums pret malu b
  d₁ ; d₂ - diagonāles

Rombs

Par rombu sauc paralelogramu, kura visas malas ir vienāda garuma.
‍
Romba pazīmes:

• Ja paralelograma diagonāles ir perpendikulāras, tad tas ir rombs.
• Ja paralelograma divas blakusmalas ir vienāda garuma, tad tas ir rombs.
• Ja paralelograma diagonāles dala uz pusēm katru tā leņķi, tad tas ir rombs.
• Ja četrstūra visas malas ir vienāda garuma, tad tas ir rombs.

Romba īpašības:

• Tā kā rombs ir paralelograms, tad tam piemīt visas paralelograma īpašības.
• Romba diagonāles savā starpā ir perpendikulāras un atrodas uz tā leņķu bisektrisēm. (Īpašība, kas ir spēkā tikai rombam.)

Rombā lietojamās formulas:

• Parametrs: P = 4 · a
• Laukums: S = a · h
  ‍S = a² · sin α S = d₁ · d₂ / 2
• Sakarība starp diagonālēm un malām:
  d₁² + d₂² = 4 · a²
  
  α - romba leņķis

Regulārs daudzstūris

Daudzstūri sauc par regulāru, ja tam vienlaikus gan visas malas, gan visi leņķi ir vienādi.
‍

• Regulāra daudzstūra leņķu lielums ir (n-2)⋅180°/n , kur n ir daudzstūra malu skaits.
• Neregulāra daudzstūra leņķu summa aprēķina pēc formulas
  (n-2)⋅180°, kur n ir daudzstūra malu skaits.

Regulārā daudzstūrī lietojamās formulas:

• Perimetrs: P = n · a
• Laukums: S = n · h_a · a/2
  S = 1/2 · P · h_a
  
  h_a - apotēma

Riņķa sektors

Sektors ir riņķa daļa starp diviem rādiusiem.

Riņķa sektorā lietojamās formulas:

• Riņķa līnijas loka garums: l = ℼ · r · n / 180
• Laukums: S = ℼ · r ²· α° / 360°
  S = r ² · α / 2
  
  α° - leņķa lielums grādos
  α - leņķa lielums radiānos
  n - centra leņķis, uz kuru balstās šis loks

Riņķa segments

Segments ir riņķa daļa starp hordu un riņķa līniju.

Riņķa segmentā lietojamās formulas:

• Riņķa līnijas loka garums: l = ℼ · r · n / 180
• Laukums: S = S_sektoram - S_△
  
  n - centra leņķis, uz kuru balstās šis loks