TELPISKĀS
FIGŪRAS

Prizma
Piramīda
Cilindrs
Konuss
Lode

Prizma

Par prizmu sauc daudzskaldni, kura divas skaldnes (pamati) ir vienādi un paralēli daudzstūri, bet sānu skaldnes ir paralelogrami.
Taisnas prizmas
Slīpas prizmas

Taisnas prizmas

Prizmu, kuras sānu šķautnes ir perpendikulāras pamatiem, sauc par taisnu prizmu.
  1. Ja prizmas sānu šķautnes ir perpendikulāras pret pamata plakni, tad prizmu sauc par taisnu prizmu.
  2. Prizmas augstums ir nogrieznis, kas perpendikulārs pret prizmas pamatu plaknēm un kura galapunkti atrodas šajās plaknēs.
  3. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar sānu šķautni.
  4. Taisnu prizmu, kuras pamati ir regulāri daudzstūri, sauc par regulāru prizmu.
  5. Diagonālšķēlums ir prizmas šķēlums ar plakni, kura iet caur 2 sānu šķautnēm, kas neatrodas 1 skaldnē.
  6. Taisnas prizmas diagonālšķēlumi ir taisnstūri.
Trijstūra prizma
Četrstūra prizma
n - stūra prizma

Trijstūra prizma

Taisna trijstūra prizma ir taisna prizma, kuras pamatā ir trijstūris.

Regulāra trijstūra prizma


Reguāra trijstūra prizma ir prizma, kuras pamatā ir vienādmalu trijstūris.


Regulārā trijstūra prizmā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = P · h
  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs

Neregulāra trijstūra prizma


Neregulāra trijstūra prizma ir prizma, kuras pamatā ir visu veidu trijstūri izņemot vienādmalu trijstūri.


Neregulārā trijstūra prizmā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = P · h
  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs

Četrstūra prizma

Taisna četrstūra prizma ir taisna prizma, kuras pamatā ir četrstūris.
Regulāra četrstūra prizma
Neregulāra četrstūra prizma
Kubs

Regulāra četrstūra prizma


Regulāra četrstūra prizma ir prizma, kuras pamatā ir kvadrāts.


Regulārā četrstūra prizmā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = P · h
  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs

Neregulāra četrstūra prizma

Neregulāra četrstūra prizma ir prizma, kuras pamatā ir neregulārs četrstūris.

Taisns paralēlskaldnis


Taisns paralēlskaldnis ir tāds paralēlskaldnis, kura sānu šķautnes ir perpendikulāras pret pamata plakni.

  • Paralēlskaldņa visas diagonāles krustojas 1 punktā un šajā punktā dalās uz pusēm (šis punkts ir paralēlskaldņa simetrijas centrs).
  • Paralēlskaldņa ik 2 pretējās skaldnes ir vienādas un paralēlas.


Taisnā paralēlskaldnī lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = P · h
  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs

Taisnstūra paralēlskaldnis


Taisnu paralēlskaldni, kura pamats ir taisnstūris, sauc par taisnstūra paralelskaldni.

  • Visas skaldnes ir taisnstūri.
  • Taisnstūra paralēlskaldņa to 3 šķautņu, kuras iziet no vienas virsotnes, garumus sauc par taisnstūra paralēlskaldņa dimensijām.
  • Viens no dimensijām ir garums, otra - platums un trešā - augstums.
  • Taisnstūra paralēlskaldņa visas diagonāles ir vienādas.
  • Taisnstūra paralēlskaldņa jebkuras diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar tā triju dimensiju kvadrātu summu.
  • Paralēlskaldņa visas diagonāles krustojas vienā punktā un šajā punktā dalās uz pusēm (šis punkts ir paralēlskaldņa simetrijas centrs).
  • Paralēlskaldņa ik 2 pretējās skaldnes ir vienādas un paralēlas.


Taisnstūra paralēlskaldnī lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = P · h
  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs

Prizma, kurai pamatā ir trapece

  • Pamatā var būt dažādmalu, vienādsānu, taisnleņķa trapeces.


Prizmā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = P · h
  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs

Kubs


Taisnu paralēlskaldni ar vienādām dimensijām sauc par kubu.

  • Kuba visas skaldnes ir kvadrāti.
  • Kubam d = a√3, kur d - kuba diagonāle, a - kuba šķautne.


Kubā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = 4 · a2
  • Pilnas virsmas laukums: S = 6 · a2
  • Tilpums: V = a3

n - stūra prizma


n - stūra prizmai pamatā var būt regulārs vai neregulārs daudzstūris.


n - stūra prizmā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = P · h
  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs

Slīpas prizmas


Ja prizmas sānu šķautnes nav perpendikulāras pret pamata plakni, tad prizmu sauc par slīpu prizmu.

  • Prizmas augstums ir nogrieznis, kas perpendikulārs pret prizmas pamatu plaknēm un kura galapunkti atrodas šajās plaknēs.
  • Slīpas prizmas augstums ir īsāks par sānu šķautni.
  • Diagonālšķēlums ir prizmas šķēlums ar plakni, kura iet caur 2 sānu šķautnēm, kas neatrodas 1 skaldnē.
  • Slīpas prizmas diagonālšķēlumi ir paralelogrami.
  • Prizmas normālšķēlums ir prizmas šķēlums ar plakni, kura ir perpendikulāra pret prizmas sānu šķautnēm vai to turpinājumiem.


Slīpā prizmā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = Pn · l
  • Tilpums: V = Sn · l
    V = S · h

    Pn - normālšķēluma perimetrs
    l - sānu šķautnes garums
    Sn - normālšķēluma laukums
    S - prizmas pamata laukums

Piramīda

Piramīda ir daudzskaldnis, kura 1 skaldne ir daudzstūris, bet pārējās skaldnes ir trijstūri ar kopēju virsotni.
  1. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novikts no piramīdas virsotnes pret pamata plakni.
  2. Ja piramīdu šķeļ ar plakni, kura ir paralēla piramīdas pamatam, tad tā atšķeļ no piramīdas līdzīgu piramīdu.
  3. Piramīdu sānu šķautnes un augstumi ir proporcionāli.
  4. Piramīdu pamati ir līdzīgi daudzstūri.
Regulāra piramīda
Neregulāra piramīda

Regulāra piramīda


Regulāra piramīda ir tāda piramīda, kuras pamats ir regulārs daudzstūris un augstuma pamats atrodas daudzstūra centrā.

  • Piramīdas pamats ir regulārs daudzstūris.
  • Apotēma ir sānu skaldnes augstums, kas novilkts no piramīdas virsotnes.
  • Regulāras piramīdas sānu šķautnes ir vienādas, bet sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri.


Regulārā piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = 1/2 · P · hs
    S = Spamata / cos α
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
    S = Spamata · (1 + cos α) / cos α
    S = (2 · Spamata · cos2 · α/2) / cos α
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

    P - pamata daudzstūra perimetrs
    hs - apotēmas garums
    α - divplakņu kakta leņķis pie pamata

Neregulāra piramīda

Sānu šķautnes vienādas
(vai visas šķautnes ar pamata plakni veido vienādus leņķus)
Divplakņu kakta leņķi pie pamata vienādi
Citi biežāk sastopamie gadījumi

Sānu šķautnes vienādas vai visas šķautnes ar pamata plakni veido vienādus leņķus

Ja piramīdas sānu šķautnes ir vienādas, tad
  1. sānu šķautņu un pamata plaknes veidotie leņķi ir vienādi;
  2. ap pamatu var apvilkt riņķa līniju, kuras centrs sakrīt ar piramīdas augstuma pamatu.

Piramīdas pamats šaurleņķa trijstūris

  • Piramīdas augstuma pamats atrodas ap šaurleņķa trijstūri apvilktās riņķa līnijas centrā, kas ir trijstūra malu vidusperpendikulu krustpunkts. Šis punkts atrodas trijstūra iekšpusē.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas pamats platleņķa trijstūris

  • Piramīdas augstuma pamats atrodas ap platleņķa trijstūri apvilktās riņķa līnijas centrā, kas ir trijstūra malu vidusperpendikulu krustpunkts. Šis punkts atrodas trijstūra ārpusē.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas pamats taisnlenķa trijstūris

  • Piramīdas augstuma pamats atrodas ap taisnleņķa trijstūri apvilktās riņķa līnijas centrā, kas ir trijstūra malu vidusperpendikulu krustpunkts. Šis punkts atrodas trijstūra hipotenūzas viduspunktā.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas pamats taisnstūris

  • Piramīdas augstuma pamats atrodas ap taisnstūri apvilktās riņķa līnijas centrā, kas ir taisnstūra diagonāļu krustpunkts.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas pamats trapece

  • Riņķa līniju var apvilkt tikai ap vienādsānu trapeci.
  • Piramīdas augstuma pamats atrodas ap trapeci apvilktās riņķa līnijas centrā, kas ir trapeces malu vidusperpendikulu krustpunkts. Šis punkts var atrasties trapeces iekšpusē, uz trapeces garākā pamata vai ārpus trapeces.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Divplakņu kakta leņķi pie pamata vienādi

Ja piramīdas skaldnes veido ar pamata plakni vienādus divplakņu kakta leņķus, tad
  1. visu sānu skaldņu augstumi ir vienādi;
  2. piramīdas pamatā var ievilkt riņķa līniju, kuras centrs sakrīt ar piramīdas augstuma pamatu.

Piramīdas pamats trijstūris

  • Piramīdas augstuma pamats atrodas trijstūra leņķu bisektrišu krustpunktā. Šis punkts jebkuram trijstūrim atrodas trijstūra iekšpusē.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = Spamata / cos α
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas pamats rombs

  • Piramīdas augstuma pamats atrodas romba diagonāļu krustpunktā.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = Spamata / cos α
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas pamats trapece

  • Trapecē var ievilkt riņķa līniju tikai tad, ja pretējo malu garumu summas ir vienādas.
  • Piramīdas augstuma pamats atrodas trapeces leņķu bisektrišu krustpunktā. Šis punkts jebkurai trapecei atrodas trapeces iekšpusē.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = Spamata / cos α
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Citi biežāk sastopamie gadījumi

Piramīdas augstuma pamats atrodas pamata daudzstūra virsotnē


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas augstuma pamats atrodas uz daudzstūra malas


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Piramīdas augstuma pamats atrodas kādā daudzstūra raksturīgajā punktā

  • Četrstūra piramīdai, kuras pamatā ir paralelograms un augstuma pamats atrodas paralelograma diagonāļu krustpunktā, pretējās sānu šķautnes vienāda garuma.


Piramīdā lietojamās formulas:

  • Sānu virsma ir vienāda ar atsevišķo sānu skaldņu laukumu summu.
  • Pilnas virsmas laukums: S = Spamata + Ssānu
  • Tilpums: V = 1/3 · Spamata · h

Cilindrs


Cilindrs ir rotācijas ķermenis, kas izveidojas, taisnstūrim rotējot ap asi, uz kuras atrodas taisnstūra mala.

  • Pamatu rādiusi rotācijas rezultātā veido cilindra pamatus - riņķus.
  • Aksiālšķēlums ir cilindra šķēlums ar plakni, kura iet caur rotācijas asi.
  • Cilindra augstums ir nogrieznis, kas perpendikulārs pret cilindra pamatu plaknēm un kura galapunkti atrodas šajās plaknēs.


Cilindrā lietojamās formulas:

  • Pilnas virsmas laukums: S = 2 · ℼ · r · (r + h)
  • Sānu virsmas laukums: S = 2 · ℼ · r · h
  • Tilpums: V = ℼ · r 2 · h

Konuss


Konuss ir rotācijas ķermenis, kas izveidojas, taisnleņķa trijstūrim rotējot ap asi, uz kuras atrodas trijstūra katete.

  • Augstums ir nogrieznis, kas novilkts no konusa virsotnes perpendikulāri pret pamatu.
  • Veidule ir nogrieznis, kas savieno konusa virsotni ar konusa pamata riņķa līnijas kādu punktu.
  • Aksiālšķēlums ir konusa šķēlums ar plakni, kura iet caur rotācijas asi.
  • Konusa pamats ir riņķis.


Konusā lietojamās formulas:

  • Sānu virsmas laukums: S = ℼ · r · l
    S = ℼ · l2 · α / 360°
  • Pilnas virsmas laukums: S = ℼ · r · (r + l)
  • Tilpums: S = ℼ · r 2 · h / 3

    r - konusa pamata rādiuss
    l - konusa veidule
    h - konusa augstums

Lode


Lode ir rotācijas ķermenis, kas izveidojas, pusriņķim rotējot ap asi, uz kuras atrodas tā diametrs.

  • Lodes virsma ir sfēra.
  • Lodes (sfēras) rādiuss ir nogrieznis, kas savieno centru ar jebkuru tās punktu.
  • Lodes segments ir lodes daļa, ko no lodes atšķeļ kāda plakne.
  • Lodes segmenta augstums ir tā lodes diametra daļa, kurš ir perpendikulārs pret šķēluma plakni.
  • Lodes slānis ir lodes daļa starp divām paralēlām plaknēm, kas šķeļ lodi.
  • Lodes sektors ir rotācijas ķermenis, kas rodas, riņķa sektoram rotējot ap asi, uz kura atrodas riņķa sektora malējais rādiuss.
  • Lodes sektors sastāv no lodes segmenta un konusa.


Lodē lietojamās formulas:

  • Sfēras laukums: S = 4 · ℼ · r 2
    ‍    S = ℼ · d 2
  • Lodes tilpums: V = 4/3 · ℼ · r 3
    ‍    V = ℼ/6 · d 3
  • Lodes segmenta tilpums: V = ℼ · h 2 · (r - h/3)
  • Segmenta sfēriskās virsmas laukums: S = 2 · ℼ · r · h
  • Lodes sektora tilpums: V = 2 · ℼ /3 · r 2 · h
ĢEOMETRISKAS FIGŪRAS